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家庭教育 已知抛物线C1：y＝－x2+2mx+n（m，n为常数，且m≠0
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发布时间：2006-06-21 11:56:53
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已知抛物线C1：y＝－x2+2mx+n（m，n为常数，且m≠0，n＞0）的顶点为A，与y轴交于点C，抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，其顶点为B，连结AC、BC、AB.
（1）写出抛物线C2的解析式；
（2）当m＝1时，判定△ABC的形状，并说明理由；
（3）抛物线C1是否存在点P，使得四边形ABCP为菱形？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由.
休 闲 宝 贝 网
>>>>>>>>休闲宝贝网回答：
你好！
（1） 因为两条抛物线关于y轴对称，所以两条抛物线上每一对应点到y轴的距离相等且方向相反，即每一对应点的x值是互为相反的数，而y值相等，因此，我们就可以�
豢悸莥，而只考虑x的符号了。
y=-x^2+2mx+n
将x变号得 y=－ (-x)2+2m(-x)+n
整理得 y= -x2-2mx+n为所求抛物线的解析式
（2）当m＝1时，△ABC为等腰直角三角形.理由如下：因为点A与点B关于y轴对称，点C又在y轴上， AC＝BC，过点A作抛物线C的对称轴交x轴于D.过点C作CE⊥AD于E.当m＝1时，顶点A的坐标为A（1，1+n），CE＝1，又点C的坐标为（0，n），AE＝1+n－n＝1，所以AE＝CE，∠ECA＝45°，∠ACy＝45°，由对称性知∠BCy＝45°，∠ACB＝90°，所以△ABC为等腰直角三角形.
（3）假设抛物线C，上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，则PC＝AB＝BC，由（2）知，AC＝BC，AB＝BC＝AC，从而△ABC为等边三角形，所以∠ACy＝∠BCy＝30°.又四边形ABCP为菱形，且点P在C1上，点P与点C关于AD对称，PC与AD的交点也为E，∠ACE＝90°－30°＝60°，点A、C的坐标分别为A（m，m2+n），C（0，n），AE2＝m2+n－n＝m2，CE＝│m│，在Rt△ACE中，tan60°＝AE/CE＝m^2/│m│＝√3.所以m＝±√3．故抛物线C上存在点P，使得四边形ABCP为菱形.此时m＝±√3.
图如下 http://mag.jxllt.com/eWebEditor/uploadfile/20080329162643276.gif
参考资料：网上家长学校
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